マンハッタン距離：都市の道筋を測る

マンハッタン距離：都市の道筋を測る

はじめに

私たちは日々、目的地までの道のりを考えています。目的地までどれくらいかかるのか、どの道を通るのが一番いいのか、頭の中で様々な経路を思い浮かべます。時には、地図アプリを使って最短距離を調べたり、交通状況を考慮したりすることもあるでしょう。

目的地までの距離を測る方法はいくつかあります。例えば、二点間の直線を引いて測る方法。これは、見通しの良い場所や、障害物のない広い場所では有効です。しかし、建物が密集した都市部では、この方法はあまり役に立ちません。なぜなら、私たちは建物をすり抜けて移動することはできないからです。都市部では、建物の間を縫うように、道路に沿って移動しなければなりません。

そのような都市部の移動を想定した距離の測り方が、マンハッタン距離です。マンハッタン距離とは、東西方向の移動距離と南北方向の移動距離を足し合わせたものです。ちょうど、碁盤の目のように区切られた道路を進むイメージです。東西に３区画、南北に４区画進むなら、マンハッタン距離は７区画となります。直線距離で測るよりも、実際の移動距離に近い値を得ることができます。

この一見単純なマンハッタン距離ですが、様々な分野で応用されています。数学や統計学はもちろんのこと、人工知能の分野でも活用されています。例えば、機械学習におけるデータ分析や、経路探索アルゴリズムなどに利用されています。マンハッタン距離は、計算が比較的簡単であるため、処理速度が求められる場面でも効果を発揮します。このように、マンハッタン距離は、都市の移動を理解する上で重要な概念であり、私たちの生活にも密接に関わっています。

計算方法

マンハッタン距離は、二つの点の間の距離を求める計算方法の一つです。この名前の由来は、ニューヨークのマンハッタン地区のように、碁盤の目のように区画整理された道路を東西南北に移動するイメージから来ています。東西方向の移動距離と南北方向の移動距離を足し合わせたものがマンハッタン距離となります。

具体的な計算方法はとても単純です。まず、二次元の平面を考えてみましょう。二つの点の座標をそれぞれ（最初の点の横の位置、最初の点の縦の位置）と（二番目の点の横の位置、二番目の点の縦の位置）と表します。マンハッタン距離を求めるには、二つの点の横の位置の差と縦の位置の差をそれぞれ計算し、その絶対値を足し合わせます。絶対値とは、数の正負に関係なく、その大きさだけを表す値のことです。例えば、３と－３の絶対値はどちらも３です。

具体的な例を見てみましょう。点（１，２）と点（４，６）の間のマンハッタン距離を計算する場合、まず横の位置の差は１－４＝－３で、その絶対値は３です。次に縦の位置の差は２－６＝－４で、その絶対値は４です。最後に、これらの絶対値を足し合わせると、３＋４＝７となります。つまり、点（１，２）と点（４，６）のマンハッタン距離は７です。

この計算方法は、三次元以上の空間にも拡張できます。三次元空間の場合、点の座標は（横の位置、縦の位置、高さの位置）で表されます。マンハッタン距離を求めるには、横の位置の差、縦の位置の差、高さの位置の差をそれぞれ計算し、その絶対値をすべて足し合わせます。同様に、四次元以上の空間でも、各次元の座標の差の絶対値をすべて足し合わせることで、マンハッタン距離を計算できます。このように計算が簡単なため、マンハッタン距離は様々な分野で活用されています。

ユークリッド距離との違い

距離を測る方法は様々ありますが、その中でも基本的なものとしてユークリッド距離とマンハッタン距離があります。この二つの距離は、どのように違うのでしょうか。まず、ユークリッド距離とは、二つの点の間を直線で結んだ時の長さのことです。例えば、地図上で二つの地点間の直線距離を求めたい場合、ユークリッド距離を用います。この距離は、ピタゴラスの定理を使って計算できます。つまり、縦と横の差をそれぞれ二乗し、その和の平方根を求めることで、直線距離が得られます。

一方、マンハッタン距離は、格子状の道を進むことを想定した距離です。マンハッタンは碁盤の目状の街路で有名ですが、この街でタクシーが目的地まで移動する際に進む距離が、マンハッタン距離の由来となっています。例えば、北へ３区画、東へ４区画移動する場合、マンハッタン距離は３＋４で７となります。つまり、縦の移動距離と横の移動距離を足し合わせたものがマンハッタン距離です。ユークリッド距離のように直線で移動することはできません。

それぞれの距離には、適した使い道があります。例えば、都市部での経路探索の場合、建物が障害物となり、直線では移動できません。このような状況では、マンハッタン距離の方が実際の移動距離に近い値を示します。また、チェス盤上の駒の動きを考える場合も、マンハッタン距離が役立ちます。例えば、ルークは縦横へしか移動できないため、その移動距離はマンハッタン距離で表されます。このように、直線距離で表すことが適切でない状況では、マンハッタン距離を使うことで、より現実に近い分析を行うことができます。ユークリッド距離とマンハッタン距離を使い分けることで、より的確な分析が可能となるのです。

機械学習での活用例

機械学習は、まるで人間の思考のように、コンピュータに学習させる技術であり、様々な分野で応用されています。この技術の中でも、データの分析や予測に役立つ手法の一つとして、マンハッタン距離が用いられています。マンハッタン距離とは、碁盤の目状の道のように、縦と横の移動だけで二点間の距離を測る方法です。

マンハッタン距離は、特に高次元データと呼ばれる、たくさんの情報を持つデータの分析で力を発揮します。高次元データでは、ユークリッド距離といった、通常の直線距離を使うと、各要素の差が積み重なってしまい、データ間の本当の近さが分かりにくくなることがあります。例えば、100個の要素を持つデータ同士を比較する場合、一つ一つの要素の差が小さくても、全体で見ると大きな差になってしまうことがあります。マンハッタン距離は、各要素の差を個別に見て、単純に足し合わせるだけなので、このような高次元データでも正確に近さを測ることができます。

データの近さを測ることは、似た特徴を持つデータをグループ分けしたり、あるデータに似たデータを探し出す際に重要です。例えば、顧客の購買履歴データから、似たような購入パターンを持つ顧客をグループ分けすることで、それぞれのグループに合わせたお勧め商品を提示することができます。また、病気の診断データから、似た症状を持つ患者の過去の診断結果を参考に、より正確な診断を行うこともできます。

マンハッタン距離は、回帰分析という、ある値から別の値を予測する手法にも使われています。回帰分析では、予測値と実際の値の差を損失関数として計算し、この損失関数を最小化するように予測モデルを調整します。マンハッタン距離を損失関数として使うと、外れ値と呼ばれる、極端に大きな値や小さな値の影響を受けにくくなります。これは、外れ値によって予測モデルが大きく歪んでしまうのを防ぐ効果があります。

このように、マンハッタン距離は、機械学習の様々な場面で、データ分析や予測の精度を高めるために役立っています。そして、これからも様々な分野での活用が期待されています。

まとめ

碁盤の目のような都市の道路を思い浮かべてみてください。ある地点から別の地点へ移動するとき、真直ぐに進むことはできず、道路に沿って進むしかありません。このとき、移動した距離を測るのに便利なのが、マンハッタン距離です。東西方向の移動距離と南北方向の移動距離を単純に足し合わせるだけで計算できます。

この一見単純な計算方法は、数学や統計学、機械学習など、様々な分野で応用されています。例えば、機械学習の分野では、データの分類や距離の測定によく用いられます。マンハッタン距離は、ユークリッド距離といった直線距離とは異なる特性を持っています。ユークリッド距離は二点間の最短距離を測りますが、マンハッタン距離は、都市の道路のように、格子状の制約の中で測ります。この違いが、特定の状況下では大きな利点となります。

高次元データの分析において、マンハッタン距離は特に有効です。次元が増えるほど、ユークリッド距離は全ての次元が等しく影響を与えてしまうため、特定の次元の影響が薄れてしまいます。一方、マンハッタン距離は、各次元の影響を独立して捉えることができるため、高次元データの分析に適しています。

また、マンハッタン距離は外れ値、つまり通常とは大きく異なる値の影響を受けにくいという頑健性を備えています。これは、距離の計算が各次元の差の絶対値の和であるため、極端に大きな値や小さな値の影響が和算によって緩和されるからです。この特性は、ノイズの多いデータや外れ値を含むデータの分析に役立ちます。

このように、マンハッタン距離は、一見単純な概念でありながら、様々な分野で応用され、複雑な問題解決に役立っています。データ分析や機械学習を学ぶ際には、マンハッタン距離の特性と利点を理解しておくことで、より適切な分析手法を選択できるようになるでしょう。