アムダールの法則：並列処理の限界

アムダールの法則：並列処理の限界

法則の概要

計算機の処理を速くするには、複数の処理装置を同時に使って仕事を分担させる方法があります。これを並列処理と言います。もし全ての処理を分担できたら、処理装置の数だけ処理速度も上がるはずです。しかし、実際にはプログラムの一部は分担できない場合があります。例えば、処理の最初と最後で必要な準備やまとめの作業などです。アムダールの法則は、このような並列処理による速度向上の限界を計算する方法です。この法則は、計算機の処理全体を分担できる部分と分担できない部分に分け、分担できる部分の割合と処理装置の数を使って、どれだけ処理速度が向上するかを計算します。

具体的には、全体の処理時間を１とした時、分担できる部分をP、分担できない部分を1-Pと表します。そして、N個の処理装置を使った場合の処理時間は、分担できない部分の処理時間1-Pと、分担できる部分の処理時間PをNで割ったものの和で表されます。つまり、1-P + P/N が並列処理後の処理時間です。元の処理時間は１なので、並列処理によって処理速度がどれだけ向上したかは、１をこの処理時間で割ることで計算できます。これがアムダールの法則です。

この法則を使うことで、処理装置の数を増やしても、分担できない部分のせいで速度向上には限界があることが分かります。例えば、プログラムの半分しか分担できない場合、処理装置をどれだけ増やしても、処理速度は２倍以上にはなりません。この法則は、1967年にジーン・アムダール氏によって提唱されました。当時から並列計算は行われていましたが、現代のように多くの処理装置を使った大規模な並列計算が当たり前になった現在においても、アムダールの法則は処理速度向上のための指針となる重要な法則です。プログラムを設計する際には、アムダールの法則を念頭に置いて、並列処理に適した構造にすることが重要です。そうすることで、処理装置の数を増やしたときに、より効果的に処理速度を向上させることができます。

法則の公式

計算の世界では、作業を細かく分けて、複数の処理装置で同時にこなすことで、全体の時間を短縮することができます。これを並列処理と言いますが、どれほど速くなるかは、アムダールの法則という公式で計算できます。この法則は、並列処理できる部分とできない部分があるプログラムで、処理装置を増やしたときに、どれくらい速くなるかの上限を示すものです。

アムダールの法則は、高速化率を計算するための公式で表されます。高速化率とは、並列処理をした場合としない場合の処理時間の比率で、どれだけ速くなったかを表す数値です。この公式は、高速化率（S） = 1 / (1 – 並列化可能な部分の割合（P） + 並列化可能な部分の割合（P） / 処理装置の数（N）) です。ここで、並列化可能な部分の割合（P）は、プログラム全体のうち、並列処理できる部分の割合を、0から1までの数値で表したものです。処理装置の数（N）は、並列処理に使う処理装置の数です。

例えば、あるプログラム全体の70%が並列処理できるとします。この場合、並列化可能な部分の割合（P）は0.7です。そして、4つの処理装置を使うとすると、処理装置の数（N）は4です。これらの数値を公式に当てはめると、高速化率（S） = 1 / (1 – 0.7 + 0.7 / 4) = 約2.1 となります。つまり、このプログラムは、処理装置を4つ使えば、並列処理しない場合と比べて、約2.1倍速くなるということです。

アムダールの法則は、処理装置の数をどれだけ増やしても、プログラム全体の処理時間を無限に短くできるわけではないことを示しています。並列処理できない部分が存在する限り、全体の処理時間には限界があるのです。プログラムの一部しか並列処理できない場合、処理装置を増やす効果は次第に小さくなり、ある程度のところで頭打ちになります。この法則は、並列処理の設計や性能評価において重要な指針となります。

法則の意味するところ

計算の世界では、作業を細かく分けて同時に進めることで、全体の時間を短縮することができます。これを並列処理と言います。たくさんの計算機を繋げて、大きな仕事を分担させれば、あっという間に終わるように思えますが、実際はそう簡単ではありません。アムダールの法則と呼ばれる法則が、この問題を明らかにしています。

この法則は、どんなにたくさんの計算機を使っても、処理全体を速くする効果には限界があることを示しています。プログラムの中には、どうしても分割して同時に処理できない部分が存在します。例えば、計算の最初に必要なデータを読み込む作業や、最後に結果をまとめる作業などは、順番通りに行うしかありません。これらの分割できない部分を逐次処理部分と呼びます。

たとえ、プログラムの大部分が分割できる部分で構成されていても、ほんの少しの逐次処理部分が全体の処理速度に大きな影響を与えます。並列処理できる部分をどれだけ速くしても、逐次処理部分の時間が変わらない限り、全体の処理時間はそれ以上に短くなりません。例えば、プログラム全体の処理時間のうち、逐次処理部分が10％を占めているとします。この場合、並列処理部分をどんなに速くしても、全体の処理時間は最大で10分の1にしか短縮できません。残りの10％は必ず逐次処理部分に費やされるからです。

プログラムを効率的に速くするためには、逐次処理部分をいかに少なくするかが鍵となります。そのためには、プログラム全体を見直し、分割できない部分を特定する必要があります。そして、その部分をより効率的な方法で処理したり、あるいは、プログラムの構造そのものを変えて、逐次処理部分を減らす工夫をしなければなりません。アムダールの法則は、並列処理を行う上で、プログラムの構造を深く理解し、最適化することの重要性を教えてくれるのです。

法則の適用例

ある法則を実際に当てはめて考えてみましょう。例として、膨大な量の情報を扱う計算機処理を想像してみてください。情報の読み込みや書き込みといった作業は、多くの場合、同時に並行して行うことが難しいのです。仮に、情報の読み込みと書き込みに全体の処理時間の二割を費やし、残りの八割の実際の情報処理は並行処理が可能だとします。この状況では、たとえ計算機の処理部分を無限に増やしたとしても、全体の処理時間は情報の読み込みと書き込みの時間によって制限されてしまいます。つまり、処理速度は最大でも五倍（全体の時間の二割にあたる読み込みと書き込みの時間を一とした場合、全体の時間は五倍に相当する。よって全体の時間を読み込み書き込みの時間で割ると、1 ÷ 0.2 = 5 となり、最大五倍の高速化となる）までしか速くならないのです。

このことから、情報処理の速度向上を考える際には、情報の出し入れにかかる部分の効率化も重要であることが分かります。例えば、読み書きの速度が速い記憶装置を使う、情報を圧縮して扱う情報量を減らす、といった様々な工夫が考えられます。並行処理できる部分にばかり注目するのではなく、全体の処理時間の中で大きな割合を占めていない部分にも目を向けることが、効率的な処理の実現には不可欠です。小さなボトルネックを見つけることで、全体の処理速度を大きく向上させることができるのです。まるで、細い管が大きな樽の水の流れを制限しているようなものです。管を太くすることで、全体の流れがスムーズになるのです。

法則の限界

アムダールの法則は、処理の一部を並列化した際に得られる性能向上、すなわち高速化の限界を予測するための法則です。これは、プログラム全体の一部しか並列化できない場合、どれだけ多くの処理装置を使っても、高速化には限界があることを示しています。たとえ並列化できる部分がどんなに速くなっても、並列化できない部分が全体の処理時間に影響を与え続けるからです。

この法則は、単純化した計算模型に基づいており、現実の複雑な仕組みを全て捉えているわけではありません。例えば、処理装置同士が情報をやり取りするのにかかる時間や、記憶装置への読み書きの速度などは、考慮されていません。現実の計算機システムでは、これらの要素が処理時間に大きく影響します。特に、処理装置の数が増えるほど、装置間の情報のやり取りにかかる時間は増大し、全体の処理時間を圧迫する傾向があります。

そのため、実際に得られる高速化は、アムダールの法則による予測値と異なる場合があります。法則は、通信にかかる時間や記憶装置へのアクセス時間などを無視しているため、予測値は現実よりも楽観的な値になることが多いです。処理装置の数が増えるほど、これらの無視された要素の影響が大きくなり、予測値とのずれも大きくなります。

しかし、アムダールの法則は、高速化の限界をおおまかに把握するための手段としては、非常に役立ちます。並列処理による性能向上を考える上で、基本的な指針となるからです。並列化による高速化の限界を理解することで、現実的な目標を設定し、効率的な仕組み作りを進めることができます。法則の単純さゆえに、様々な場面で手軽に適用できることも大きな利点です。

アムダールの法則は、並列計算の限界を示す重要な法則ですが、現実の複雑さを全て反映しているわけではありません。法則を適用する際には、その限界を理解し、現実の状況に合わせて適切に解釈する必要があります。より正確な予測を行うためには、通信時間や記憶装置へのアクセス時間など、法則では考慮されていない要素も分析する必要があるでしょう。

まとめ

計算処理の速さを高める方法として、複数の処理を同時に行う並列処理があります。処理時間を短縮できる画期的な方法に思えますが、実は速さの上限が決まっていることをご存知でしょうか。それを教えてくれるのがアムダールの法則です。

アムダールの法則は、プログラム全体を並列処理できる部分と、どうしても順番に処理するしかない部分に分けて考えます。いくら並列処理できる部分の割合を増やして高速化しても、順番に処理するしかない部分がボトルネックとなり、全体の処理速度向上には限界がある、というのがこの法則の核心です。

例えば、あるプログラム全体の処理のうち、９０％が並列処理できるとします。仮に、並列処理できる部分を限りなく高速化したとしても、全体の処理時間は、残りの１０％の処理時間に縛られてしまいます。つまり、どれだけ頑張っても全体の処理時間は元の１０分の１までしか短縮できないのです。

この法則は、並列処理を設計する上で重要な指針となります。並列処理に適した部分は積極的に並列化すると同時に、どうしても順番に処理するしかない部分も無視せず、その部分の処理時間をいかに短縮するかが重要になります。もし、順番に処理するしかない部分に時間がかかる複雑な処理が含まれているなら、その処理のアルゴリズムを見直して簡略化したり、効率的な処理方法を探したりする必要があります。

現代のコンピュータは、複数の処理を同時に行うことが当たり前になっています。複数の計算処理装置（コア）を持つ多コア処理装置や、画像処理に特化した絵図処理装置などは、並列処理を前提として設計されています。アムダールの法則を理解することで、これらの装置の性能を最大限に引き出す設計が可能になり、より効率的な処理を実現できるのです。