幾何平均とは？求め方・違い・意味をわかりやすく解説

幾何平均とは？求め方・違い・意味をわかりやすく解説

幾何平均とは

幾何平均とは、複数の正の数をすべて掛け合わせ、その積の個数乗根を取った平均値です。数が2個なら平方根、3個なら立方根、4個なら4乗根を使います。

たとえば、2と8の幾何平均は√(2×8)=4です。普通の平均である算術平均は(2+8)÷2=5なので、同じ「平均」でも見ている性質が違います。

算術平均は「合計を均等に分ける」ときに向いています。一方で、幾何平均は「倍率が積み重なった結果を、1回あたりの平均倍率に戻す」ときに向いています。売上が何倍になったか、投資が何%増減したか、複数の比率をまとめたいといった場面では、幾何平均の考え方が自然です。

幾何平均の求め方

幾何平均は、次の3つの手順で求めます。

つまり、10、20、50の幾何平均は約21.54です。算術平均は(10+20+50)÷3=約26.67なので、結果は一致しません。

比率や成長率では、途中の変化を掛け合わせた結果が最終的な変化になります。そのため、1回あたりの平均的な変化を知りたいときは、足して割る算術平均よりも、掛けて根を取る幾何平均のほうが実態に合いやすくなります。

数が多い場合は、掛け算の結果が非常に大きくなることがあります。そのようなときは、各値の対数を取って平均し、最後に指数関数で戻す方法を使うと、計算を扱いやすくできます。

算術平均との違い

算術平均と幾何平均の大きな違いは、足し算をもとにするか、掛け算をもとにするかです。

たとえば、100円、200円、300円、10000円という4つの価格があるとします。算術平均は(100+200+300+10000)÷4=2650円です。10000円という極端に高い値に大きく引っ張られ、100円から300円の値段感とはかなり離れた結果になります。

同じ4つの価格を幾何平均で見ると、(100×200×300×10000)の4乗根で約495円です。もちろんこの値も10000円を含めた結果ですが、算術平均ほど極端な値に引っ張られません。

算術平均は合計量の代表値、幾何平均は相対的な変化や倍率の代表値を見たいときに使い分けます。

幾何平均が向いている場面

幾何平均は、変化が連続して積み重なるデータに向いています。代表的な例は、投資の収益率、売上や人口の成長率、生物の増殖率、機械学習における複数指標の評価です。

投資の例で考えてみましょう。1年目に資産が2倍になり、2年目に半分になった場合、算術平均では(2+0.5)÷2=1.25倍となり、平均して増えたように見えます。しかし、実際には2×0.5=1なので、最初の金額に戻っただけです。幾何平均では√(2×0.5)=1倍となり、実態に合った結果になります。

機械学習では、複数の性能指標をバランスよく見たいときに幾何平均の考え方が使われることがあります。どれか一つの指標だけが高くても、別の指標が極端に低い場合は、全体として良いモデルとは言いにくいからです。幾何平均は、低い値を無視しにくいため、バランスを見る指標として役立ちます。

使うときの注意点

幾何平均は便利ですが、どんなデータにも使えるわけではありません。特に注意したいのは、扱う値が正の数である必要があることです。

幾何平均は掛け算をもとにするため、ゼロが含まれると結果もゼロになります。また、負の値が含まれると、根の計算が実数として扱いにくくなる場合があります。収益率のようにマイナスが出るデータでは、倍率に変換してから扱うなど、データの意味を確認する必要があります。

また、合計そのものに意味があるデータでは、算術平均のほうが適しています。たとえばテストの平均点、来客数、支出額の平均などは、基本的には足して割る平均で考えるのが自然です。

まとめ

幾何平均は、複数の正の数を掛け合わせ、その積の個数乗根を取って求める平均です。普通の平均である算術平均とは計算方法が異なり、成長率や倍率のように、変化が掛け算で積み重なるデータに向いています。

売上が何倍になったか、投資が何%増減したか、複数の性能指標をまとめて見たいかなど、分析したい値が「比率」や「相対的な変化」なら、幾何平均を使う候補になります。

幾何平均と算術平均は、どちらが常に優れているというものではありません。合計や配分を見るなら算術平均、倍率や成長率を見るなら幾何平均というように、データの性質に合わせて使い分けることが大切です。

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